CHAPITRE 2 — ANALYSE DE L’INFORMATION CHIFFRÉE
Statistiques à deux variables · Première enseignement commun
Analyser des tableaux, choisir une population de référence et utiliser des modèles pour interpréter les données. Cherche d’abord les réponses sur papier, puis dévoile les explications.
Réviser le chapitre avec les QCM →36 questions sans calculatrice · tableaux et graphiques · corrections détaillées et bilan1. Croiser deux caractères qualitatifs
Activité 1 — Comment viennent les élèves au lycée ?
On interroge 160 élèves de première sur leur moyen de transport.
| Bus | À pied | Vélo | Autre | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| Garçons | 32 | 24 | 16 | 8 | 80 |
| Filles | 28 | 20 | 12 | 20 | 80 |
| Total | 60 | 44 | 28 | 28 | 160 |
- Combien de garçons viennent à pied ? Combien d’élèves viennent en bus ?
- Quelle proportion de l’ensemble des élèves sont des garçons ? Donner une fraction puis un pourcentage.
- Quelle proportion de l’ensemble des élèves vient à vélo ?
- Parmi les garçons, quelle proportion vient à vélo ?
- Parmi les élèves venant à vélo, quelle proportion sont des filles ?
- Les deux dernières questions calculent-elles la même chose ?
- 24 garçons viennent à pied ; 60 élèves viennent en bus.
- 80/160 = 1/2 = 50 %. Le groupe de référence contient les 160 élèves.
- 28/160 = 7/40 = 17,5 %.
- 16/80 = 1/5 = 20 %. On se place parmi les 80 garçons.
- 12/28 = 3/7, soit environ 42,9 %. On se place parmi les 28 cyclistes.
- Non : les populations de référence sont différentes. Le dénominateur doit correspondre au groupe introduit par « parmi ».
À toi de choisir le dénominateur
Cours — Effectifs et fréquences
Les totaux dans les marges donnent les effectifs de chaque ….
Fréquence marginale = effectif d’une modalité / ….
Fréquence conditionnelle = effectif répondant aux deux critères / effectif correspondant à la ….
Un tableau croisé d’effectifs étudie simultanément deux caractères. Une modalité est une valeur ou une catégorie prise par un caractère : bus, à pied, vélo et autre sont ici les modalités du moyen de transport.
La fréquence marginale a pour dénominateur l’effectif total. La fréquence conditionnelle a pour dénominateur l’effectif du groupe défini par la condition.
« Parmi les garçons » signifie : diviser par le nombre total de garçons.
Exercice 1 — Lecture et calcul mental
| Sport collectif | Sport individuel | Aucun | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Seconde | 30 | 20 | 10 | 60 |
| Première | 24 | 24 | 12 | 60 |
| Total | 54 | 44 | 22 | 120 |
- Quelle est la fréquence des élèves de première dans l’ensemble ?
- Quelle est la fréquence des élèves pratiquant un sport individuel ?
- Parmi les élèves de première, quelle est la fréquence de ceux pratiquant un sport collectif ?
- Parmi les élèves pratiquant un sport collectif, quelle est la fréquence des élèves de première ?
- Interpréter les deux dernières fréquences par une phrase.
- 60/120 = 1/2 = 50 %.
- 44/120 = 11/30.
- 24/60 = 2/5 = 40 %.
- 24/54 = 4/9.
- 40 % des élèves de première pratiquent un sport collectif. Parmi les élèves pratiquant un sport collectif, 4/9 sont en première.
2. Représenter deux caractères qualitatifs
Cours — Choisir une représentation
Un tableau croisé peut être représenté par des diagrammes en … ou des diagrammes ….
On peut utiliser des diagrammes en barres ou des diagrammes circulaires. Pour comparer des groupes de tailles différentes, comparer les proportions au sein de chaque groupe est souvent plus pertinent que comparer les effectifs bruts.
Exercice 2 — Choisir et interpréter une représentation
Dans une enquête de 100 personnes, 60 utilisent principalement les transports en commun : 36 ont moins de 30 ans et 24 ont 30 ans ou plus. Parmi les 40 autres personnes, 24 ont moins de 30 ans.
- Construire le tableau croisé complet.
- Calculer la fréquence des moins de 30 ans parmi les utilisateurs des transports en commun.
- Calculer la fréquence des utilisateurs des transports en commun parmi les moins de 30 ans.
- Pour comparer l’usage des transports selon l’âge, quel pourcentage est le plus pertinent ?
Âge Transports en commun Autres Total Moins de 30 ans 36 24 60 30 ans ou plus 24 16 40 Total 60 40 100 - 36/60 = 3/5 = 60 %. Le groupe de référence est celui des utilisateurs des transports en commun.
- 36/60 = 3/5 = 60 %. Le groupe de référence est cette fois celui des moins de 30 ans. Les résultats sont ici égaux, mais les questions diffèrent.
- Comparer la part des utilisateurs dans chaque groupe d’âge : 36/60 = 60 % chez les moins de 30 ans et 24/40 = 60 % chez les autres. Les proportions sont égales.
Comparer des effectifs ou des proportions
Bleu : transports en commun · Gris : autres moyens. Observe les tailles des deux groupes.
3. Deux caractères quantitatifs : le nuage de points
Activité 2 — Température et consommation d’eau
Pendant six journées, on relève la température maximale x (en °C) et la consommation d’eau y (en m³) d’un équipement.
| x (°C) | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y (m³) | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 |
- Placer les six points de coordonnées (x ; y) dans un repère.
- Décrire la forme du nuage. Semble-t-il exister un lien entre les grandeurs ?
- Calculer la moyenne des températures puis celle des consommations.
- Donner les coordonnées du point moyen G et le placer.
- Les points sont (10 ; 20), (12 ; 22), (14 ; 24), (16 ; 26), (18 ; 28) et (20 ; 30).
- Les points sont alignés sur une droite croissante. Dans ces données, la consommation augmente avec la température.
- x̄ = (10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20)/6 = 90/6 = 15 ; ȳ = 150/6 = 25.
- G(15 ; 25). Coche « Afficher le point moyen G » sous le graphique.
Cours — Nuage et point moyen
À chaque observation correspond un couple (x ; y). L’ensemble des points forme un …. Le point moyen a pour coordonnées G(… ; …).
L’ensemble forme un nuage de points. Le point moyen est G(x̄ ; ȳ), où x̄ est la moyenne des abscisses et ȳ celle des ordonnées.
Un point moyen ne correspond pas nécessairement à une observation de la série.
4. Ajustement affine
Lorsque les points sont approximativement alignés, une droite peut résumer la tendance : c’est un ajustement affine.
Activité 3 — Une droite au jugé
On reprend les données de température et de consommation.
- Déterminer une équation de la droite passant par (10 ; 20) et (20 ; 30).
- Vérifier que le point moyen appartient à cette droite.
- Estimer la consommation pour 17 °C.
- Estimer la consommation pour 22 °C. Est-ce une estimation de même nature ?
- Le coefficient directeur vaut (30 − 20)/(20 − 10) = 1. Avec (10 ; 20), 20 = 10 + b donc b = 10. Ainsi y = x + 10.
- Pour x = 15, y = 15 + 10 = 25 : G(15 ; 25) appartient à la droite.
- 17 + 10 = 27 m³. 17 appartient à l’intervalle observé [10 ; 20] : c’est une interpolation.
- 22 + 10 = 32 m³. 22 est hors de [10 ; 20] : c’est une extrapolation, plus fragile.
Explorer le modèle y = x + 10
Le segment bleu couvre les observations ; les prolongements en pointillés sont des extrapolations. Le point orange représente l’estimation.
Cours — Interpolation et extrapolation
Interpoler : estimer à l’… de l’intervalle observé. Extrapoler : estimer à l’….
Interpolation : estimation à l’intérieur de l’intervalle des données observées. Extrapolation : estimation à l’extérieur de cet intervalle. Une extrapolation est généralement plus fragile : rien ne garantit que le modèle reste pertinent loin des observations.
Exercice 3 — Ajustement affine sans calculatrice
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
- Représenter le nuage.
- Calculer le point moyen G.
- Déterminer la droite passant par le premier et le dernier point.
- Estimer y pour x = 5 et préciser la nature de l’estimation.
- Même question pour x = 12.
- Les cinq points sont alignés.
- x̄ = 20/5 = 4 ; ȳ = 35/5 = 7, donc G(4 ; 7).
- a = (11 − 3)/(8 − 0) = 1 ; pour x = 0, y = 3. Donc y = x + 3.
- y = 5 + 3 = 8. C’est une interpolation : 5 appartient à [0 ; 8].
- y = 12 + 3 = 15. C’est une extrapolation : 12 est hors de [0 ; 8].
5. Une autre méthode : la droite de Mayer
Méthode
On ordonne les points selon x, puis on partage ici la série en deux groupes de même effectif. On calcule le … de chaque groupe, puis on trace la droite passant par ces deux points.
On calcule le point moyen de chaque groupe : G₁ et G₂. La droite (G₁G₂) est la droite de Mayer. Elle fournit un ajustement, qui peut différer d’une droite de régression obtenue par un tableur.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
- Calculer G₁ pour les trois premiers points.
- Calculer G₂ pour les trois derniers points.
- Déterminer l’équation de (G₁G₂).
- Estimer y pour x = 7.
- Pourquoi faut-il être prudent pour x = 100 ?
- G₁((1 + 2 + 3)/3 ; (3 + 4 + 5)/3) = G₁(2 ; 4).
- G₂((4 + 5 + 6)/3 ; (6 + 7 + 8)/3) = G₂(5 ; 7).
- a = (7 − 4)/(5 − 2) = 1 ; 4 = 2 + b donc b = 2. Ainsi y = x + 2.
- y = 7 + 2 = 9. Il s’agit déjà d’une extrapolation.
- 100 est très éloigné des valeurs observées, comprises entre 1 et 6. Le résultat du calcul serait 102, mais rien ne garantit sa pertinence dans la situation étudiée.
6. Activité tableur — Représenter et ajuster
Sur ordinateur, saisir ces données dans deux colonnes : x dans A1, y dans B1, puis les six observations dans les lignes 2 à 7.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 14 | 15 | 18 | 19 | 22 |
- Créer un nuage de points.
- Ajouter une droite d’ajustement affine et afficher son équation.
- Calculer le point moyen avec le tableur.
- Estimer la valeur au rang 6.
- Comparer avec une droite tracée au jugé.
- Rédiger une phrase sur les limites d’une extrapolation.
- Sélectionner les deux colonnes puis insérer un graphique de type nuage de points (XY).
- Ajouter une tendance linéaire. On obtient y ≈ 1,94x + 11,81. Les coefficients non arrondis sont a = 68/35 et b = 248/21.
- Utiliser
=MOYENNE(A2:A7)et=MOYENNE(B2:B7)dans un tableur en français. x̄ = 2,5 et ȳ = 100/6 = 50/3 ≈ 16,67. - Avec les coefficients non arrondis, y ≈ 23,47, soit environ 23,5. Avec les coefficients arrondis affichés : 1,94 × 6 + 11,81 = 23,45, une estimation proche.
- Une droite au jugé raisonnable donne une valeur voisine, par exemple autour de 24. Les résultats peuvent différer selon la droite choisie.
- Plus on s’éloigne des observations, plus il est incertain que la tendance reste valable.
7. Rappel — Lire un diagramme en boîte
Les cinq repères
Un diagramme en boîte représente le …, le premier quartile Q₁, la …, le troisième quartile Q₃ et le ….
Dans les diagrammes de ce cours, les moustaches indiquent le minimum et le maximum. La boîte va de Q₁ à Q₃, avec un trait pour la médiane.
Série A : minimum 2 ; Q₁ = 5 ; médiane = 8 ; Q₃ = 11 ; maximum 14.
- Tracer le diagramme sur un axe gradué.
- Donner l’intervalle interquartile, correspondant à la moitié centrale de la distribution.
- Peut-on connaître la moyenne avec ces seules informations ?
- [5 ; 11] : c’est l’intervalle entre Q₁ et Q₃. Dans une série finie, notamment avec des valeurs répétées, il ne contient pas nécessairement exactement 50 % des observations.
- Non. Les cinq repères ne suffisent pas à retrouver la somme des valeurs, donc leur moyenne.
8. Exercices de consolidation
Environ 25 minutes, sans calculatrice. Cherche sur papier avant d’ouvrir les corrections.
Exercice 1 — La population de référence
Une classe compte 30 élèves, dont 18 sportifs. Parmi les sportifs, 12 sont demi-pensionnaires. Il y a 20 demi-pensionnaires au total.
- Quelle proportion de la classe pratique un sport ? Fraction simplifiée et pourcentage.
- Parmi les sportifs, quelle proportion est demi-pensionnaire ?
- Parmi les demi-pensionnaires, quelle proportion pratique un sport ?
- Les deux dernières fréquences sont-elles les mêmes ? Préciser les populations de référence.
- 18/30 = 3/5 = 60 %.
- 12/18 = 2/3.
- 12/20 = 3/5 = 60 %.
- Non : on divise par 18 sportifs dans la deuxième question, puis par 20 demi-pensionnaires dans la troisième.
Exercice 2 — Nuage et point moyen
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 5 | 4 | 7 | 6 |
- Calculer le point moyen G.
- Placer les cinq points et G.
- La tendance est-elle croissante, décroissante ou sans direction nette ?
- x̄ = 15/5 = 3 et ȳ = 25/5 = 5 : G(3 ; 5).
- La tendance est globalement croissante, même si les points ne sont pas parfaitement alignés.
Exercice 3 — Ajustement et esprit critique
On choisit la droite y = 2x + 3. Les valeurs observées de x sont comprises entre 2 et 10.
- Estimer y pour x = 6.
- Interpolation ou extrapolation ?
- Estimer y pour x = 12.
- Interpolation ou extrapolation ?
- Pourquoi une prévision pour x = 100 est-elle fragile ?
- 2 × 6 + 3 = 15.
- Interpolation : 6 appartient à [2 ; 10].
- 2 × 12 + 3 = 27.
- Extrapolation : 12 est hors de [2 ; 10].
- 100 est très éloigné de [2 ; 10]. Calculer 203 ne prouve pas que ce résultat est réaliste : rien ne garantit que le modèle reste adapté.
Exercice 4 — Diagramme en boîte
Minimum 4 ; Q₁ = 7 ; médiane = 10 ; Q₃ = 13 ; maximum 18.
- Construire le diagramme.
- Donner l’intervalle interquartile.
- Compléter : au moins 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à …
- Peut-on déterminer la moyenne ?
- [7 ; 13], l’intervalle entre le premier et le troisième quartile.
- 10, la médiane.
- Non : les cinq valeurs caractéristiques ne déterminent pas la moyenne.