Trigonométrie
Du triangle rectangle au cercle trigonométrique : comprendre l’enroulement de la droite numérique, le radian, puis lire géométriquement le cosinus et le sinus d’un réel.
À quoi sert la trigonométrie aujourd’hui ?
Au collège, la trigonométrie a surtout été utilisée pour étudier les relations entre longueurs et angles dans un triangle rectangle. Mais son domaine d’application est beaucoup plus vaste : dès qu’un phénomène fait intervenir des angles, des directions, des rotations ou des phénomènes périodiques, la trigonométrie devient un outil naturel.
🧭 Se repérer, mesurer, construire
En navigation et en orientation, elle permet de relier une direction à une position. En génie civil et en architecture, elle intervient pour déterminer des distances, des pentes, des hauteurs et des angles sans nécessairement pouvoir les mesurer directement.
🔬 Décrire le monde physique
En physique et en optique, de nombreux phénomènes oscillatoires ou ondulatoires se décrivent à l’aide de la trigonométrie. Elle apparaît également en chimie pour étudier certaines géométries et orientations.
🎵 Son, images et numérique
La musique et le traitement du son font intervenir des oscillations. Les jeux vidéo, l’imagerie et la modélisation utilisent constamment angles et rotations pour déplacer un objet, orienter une caméra ou représenter une scène.
📊 Des applications parfois inattendues
On rencontre aussi des outils trigonométriques en mathématiques, en psychologie dans certains traitements de données, ou encore dans l’étude de signaux et de modèles utilisés sur les marchés financiers.
1. Avant de commencer
Dans un triangle rectangle, complète les trois rapports :
\(\sin(\alpha)=\) ; \(\cos(\alpha)=\) ; \(\tan(\alpha)=\) .
2. Cercle trigonométrique et radian
Le sens direct correspond aux mesures positives ; le sens opposé aux mesures négatives.
Angle orienté
Contrairement à un angle géométrique, un angle orienté tient compte du sens de rotation. Ainsi, un même point du cercle peut être atteint après plusieurs tours.
Énigme 1
Je pars de \(I\), je fais exactement un tour complet dans le sens direct et je reviens à \(I\). Quelle longueur ai-je parcourue sur un cercle de rayon 1 ?
L’enroulement de la droite numérique autour du cercle
C’est le passage essentiel : on imagine la droite numérique tangente au cercle en \(I\), puis on l’enroule autour du cercle. À chaque réel \(x\) correspond alors un point du cercle.
Animation GeoGebra intégrée : déplace le point sur la droite et observe son image sur le cercle.
| Degrés | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(360^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Énigme 2 — même point ou pas ?
Sans calculatrice : les réels \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{13\pi}{3}\) ont-ils le même point image sur le cercle ?
3. Cosinus et sinus d’un réel
Manipule le point \(M\)
60° · ≈ 1,047 rad
Abscisse : 0,500 → \(\cos(x)\)
Ordonnée : 0,866 → \(\sin(x)\)
Les projections de \(M\) sur les axes rendent visibles le cosinus et le sinus. Ici on étudie des valeurs, pas les fonctions trigonométriques.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(-1\leqslant\cos(x)\leqslant1\) et \(-1\leqslant\sin(x)\leqslant1\).
Comme \(M\) appartient au cercle de rayon 1 : \[\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.\]
4. Valeurs remarquables
Les valeurs de \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\) pour \(0\), \(\frac\pi6\), \(\frac\pi4\), \(\frac\pi3\) et \(\frac\pi2\) sont à connaître par cœur. Mais le cercle permet surtout de les retrouver.
Voir les valeurs sur le cercle
Chaque résultat est accompagné de son point-image et de ses projections : l’abscisse donne le cosinus, l’ordonnée donne le sinus.
| \(x\) | \(0\) | \(\frac\pi6\) | \(\frac\pi4\) | \(\frac\pi3\) | \(\frac\pi2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos(x)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\sin(x)\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Défi — reconstruire plutôt que réciter
On sait que \(\sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12\) et que le point correspondant est dans le premier quadrant. Retrouve \(\cos\left(\frac\pi6\right)\) avec l’identité fondamentale.
5. Angles associés
Les formules ne sont pas des recettes isolées : elles se lisent sur le cercle par symétrie.
\[\cos(-x)=\cos(x),\qquad \sin(-x)=-\sin(x).\]
\[\cos(\pi-x)=-\cos(x),\qquad \sin(\pi-x)=\sin(x).\]
Énigme 3
Sans calculatrice, détermine \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).
6. Tangente
Géométriquement, la tangente se relie à la droite tangente au cercle en \(I\). Les valeurs remarquables de tangente ne sont pas à retenir par cœur dans ce chapitre.
7. Résoudre une équation trigonométrique
Exemple
La droite verticale \(x=\frac12\) coupe le cercle en deux points : on lit immédiatement les deux angles.
Sur le cercle, l’abscisse \(\frac12\) correspond aux angles \(\frac\pi3\) et \(-\frac\pi3\) modulo \(2\pi\).
Dans \(]-\pi;\pi]\) : \[x=-\frac\pi3\quad\text{ou}\quad x=\frac\pi3.\]
Dans \(\mathbb R\) : \[x=2k\pi\pm\frac\pi3,\quad k\in\mathbb Z.\]
À toi
Résous dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\sin(x)=\frac{\sqrt2}{2}\).