Cours interactif : observe, cherche, vérifie et entraîne-toi au fil du chapitre.
La fonction carré \(x\mapsto x^2\) : quelques rappels essentiels avant d'étudier les fonctions polynômes du second degré.
La fonction carré est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe son carré \(x^2\).
Elle est paire : pour tout réel \(x\), \((-x)^2=x^2\). Sa courbe représentative est une parabole, d'axe de symétrie \(x=0\) et de sommet \(O(0;0)\).
Retrouve d'abord sur ton brouillon les variations et le signe de \(x^2\).
Tableau de variations de \(x\mapsto x^2\)
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | |||
Tableau de signes de \(x^2\)
| \(x\) | −∞0+∞ |
|---|---|
| \(x^2\) | +0+ |
Une fonction \(f\) est une fonction polynôme du second degré s'il existe trois réels \(a,b,c\), avec \(a\neq0\), tels que, pour tout réel \(x\) :
Sa courbe représentative est une parabole. Le signe de \(a\) détermine son sens.
Le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnées \(S(\alpha;\beta)\), avec :
La droite d'équation \(x=\alpha\) est l'axe de symétrie de la parabole.
Si \(a>0\), \(\beta\) est le minimum de \(f\). Si \(a<0\), \(\beta\) est le maximum de \(f\).
Donc \(f(x)=4(x-1)^2+7\). Le sommet est \(S(1;7)\). Comme \(a=4>0\), la parabole est à l'endroit et \(7\) est le minimum.
Les racines d'un trinôme sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)=0\). Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
| Question posée | Écriture souvent la plus efficace |
|---|---|
| Lire \(a,b,c\), calculer une image simple | Forme développée |
| Sommet, axe, extremum, variations | Forme canonique |
| Racines et étude du signe | Forme factorisée |
Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on calcule le discriminant :
Si \(\Delta>0\) :
\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]Si \(\Delta=0\) : \(\displaystyle x_0=\frac{-b}{2a}\). Si \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.
Partons de la forme développée :
\[ \begin{aligned} f(x) &=ax^2+bx+c\\ &=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]. \end{aligned} \]Or \(\Delta=b^2-4ac\). On obtient donc :
\[ \boxed{f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]}. \]Résoudre \(f(x)=0\) revient, puisque \(a\neq0\), à :
\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}.\]Lorsque \(\Delta>0\), on obtient les deux solutions :
\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]Lorsque \(\Delta=0\), l'équation devient :
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0. \]Un carré est nul si et seulement si ce qui est au carré est nul. On obtient donc une unique solution, appelée racine double :
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]Lorsque \(\Delta<0\), on aurait :
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}. \]Or \(4a^2>0\), donc \(\dfrac{\Delta}{4a^2}<0\). Le membre de gauche est un carré, donc il est toujours positif ou nul : l'égalité est impossible dans \(\mathbb R\).
Il n'y a donc aucune solution réelle.
Si \(f(x)=ax^2+bx+c\) possède deux racines \(x_1,x_2\), alors :
Si \(x_1+x_2=S\) et \(x_1x_2=P\), alors \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de :
Exemple : on cherche deux nombres \(x_1\) et \(x_2\) dont la somme vaut \(S=5\) et le produit \(P=-24\). On étudie donc :
Le discriminant est un carré parfait : le calcul se poursuit donc exactement, sans calculatrice.
\[ x_1=\frac{5-11}{2}=-3 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{5+11}{2}=8. \]On vérifie bien :
\[ -3+8=5 \qquad\text{et}\qquad (-3)\times8=-24. \]Je pense à deux nombres entiers. Je te donne seulement leur somme et leur produit. Retrouve-les.
Le signe d'un trinôme se lit à partir de ses racines et du signe de \(a\).
Aucune racine. Le trinôme garde le signe de \(a\) sur \(\mathbb R\).
Une racine double. Le trinôme garde le signe de \(a\) et s'annule une fois.
Deux racines. Le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur et du signe opposé entre les racines.
Cinq questions mélangées. À toi de reconnaître la bonne méthode.