2. Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute 10.
3.u(n + 1) = u(n) + 10.
4. Du rang 0 au rang 12, on effectue 12 ajouts de 10 € : u(12) = 50 + 12 × 10 = 170. La cagnotte contient donc 170 €.
5. La somme contenue dans la cagnotte augmente de 10 € chaque mois.
Synthèse 1 - À compléter
Une suite est une liste ordonnée de nombres. On peut d'abord noter ses termes u(0), u(1), u(2), ... puis utiliser la notation u₀, u₁, u₂, ...
Une suite (uₙ) est ................................ lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé ................................ .
Relation de récurrence : uₙ₊₁ = ................................
Une suite (uₙ) est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.
Relation de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ + r.
2. Calculer directement un terme
Activité 2 - Un programme d'entraînement
Léa court 2 km le premier jour. Chaque jour, elle augmente sa distance de 0,5 km. On note u₁ = 2 la distance, en km, parcourue le premier jour.
1. Calculer u₂, u₃, u₄ et u₅.
2. Pour aller de u₁ à u₅, combien de fois ajoute-t-on 0,5 ?
3. En déduire une expression permettant de calculer directement uₙ à partir de n.
4. Calculer la distance parcourue le 20e jour.
Réponses et schéma
u₁ = 2→ +0,5 →u₂ = 2,5→u₃ = 3→u₄ = 3,5→u₅ = 4
De u₁ à u₅, on fait 4 ajouts de 0,5 : u₅ = 2 + 4 × 0,5.
Pour atteindre le rang n à partir du rang 1, il faut n - 1 ajouts. Donc uₙ = 2 + (n - 1) × 0,5.
u₂₀ = 2 + 19 × 0,5 = 2 + 9,5 = 11,5 km.
Synthèse 2 - Expression explicite
Si une suite arithmétique de raison r commence à u₀ : uₙ = ................................
Si le premier terme utilisé est u₁ : uₙ = ................................
Attention : le nombre d'ajouts dépend du rang du premier terme.
Si le premier terme est u₀ : uₙ = u₀ + nr.
Si le premier terme est u₁ : uₙ = u₁ + (n - 1)r.
Toujours compter le nombre de passages entre le rang de départ et le rang demandé.
Exercices d'application
Exercice 1 - Cas direct
On considère une suite arithmétique (uₙ) de premier terme u₀ = 7 et de raison r = -2.
a. Calculer u₁, u₂ et u₃.
b. Exprimer uₙ en fonction de n.
c. Calculer u₁₀.
Exercice 1
7→ -2 →5→ -2 →3→ -2 →1
a. u₁=5, u₂=3, u₃=1.
b. Comme on part de u₀, uₙ=u₀+nr=7-2n.
c. u₁₀=7-2×10=7-20=-13.
Exercice 2 - Reconnaître une suite
Pour tout entier naturel n, on pose uₙ = 5 - 3n.
a. Calculer uₙ₊₁ - uₙ.
b. Montrer que (uₙ) est arithmétique et préciser sa raison.
La différence uₙ₊₁-uₙ est constante : la suite est donc arithmétique de raison -3.
c. u₂₀=5-3×20=5-60=-55.
3. Sens de variation et représentation
Activité 3 - Une période de froid
La température baisse de 1,5 °C chaque jour. Le premier jour, un lundi, il fait 8 °C. On note u₀ = 8 la température initiale.
1. Donner la raison de la suite et écrire une relation entre uₙ₊₁ et uₙ.
2. Exprimer uₙ en fonction de n.
3. Calculer la température après 5 jours.
4. À partir de quel rang la température devient-elle négative ? Quel jour de la semaine cela correspond-il ?
5. Construire un repère et les points de coordonnées (n ; uₙ) pour n allant de 0 à 7. Que remarquez-vous ?
Réponses
1. La raison est r=-1,5 et uₙ₊₁=uₙ-1,5.
2. uₙ=8-1,5n.
3. u₅=8-1,5×5=8-7,5=0,5 °C.
4. 8-1,5n<0 ⇔ 8<1,5n ⇔ n>8/1,5=16/3. Le premier entier qui convient est n=6. Rang 0 = lundi, donc rang 6 = dimanche.
Remarque : les points sont alignés. On ne trace cependant pas une courbe continue entre eux : une suite est définie pour des rangs entiers.
Synthèse 3 - Variation
Pour une suite arithmétique de raison r :
• si r > 0, la suite est ................................ ; • si r < 0, la suite est ................................ ; • si r = 0, la suite est ................................ .
Les points représentant une suite arithmétique sont ................................ .
• si r>0, la suite est croissante ; • si r<0, la suite est décroissante ; • si r=0, la suite est constante.
Les points représentant une suite arithmétique sont alignés.
4. Modéliser et résoudre un problème de seuil
Activité 4 - Gestion d'une forêt
Une parcelle contient 12 500 arbres au début de l'étude. Un programme de replantation conduit à une augmentation nette de 100 arbres par an. On note u₀ = 12 500 et uₙ le nombre d'arbres après n années.
1. Justifier que la situation peut être modélisée par une suite arithmétique.
2. Donner sa raison et exprimer uₙ en fonction de n.
3. Combien d'arbres prévoit-on après 8 ans ?
4. Traduire « atteindre au moins 14 000 arbres » par une inégalité.
5. Résoudre cette inégalité et interpréter.
Réponses
1. Chaque année, le nombre d'arbres augmente de la même quantité : 100. La suite est arithmétique.
2. r=100 et uₙ=12 500+100n.
3. u₈=12 500+800=13 300 arbres.
4. uₙ≥14 000, soit 12 500+100n≥14 000.
5. 100n≥1 500 ⇔ n≥15. Le seuil est atteint au bout de 15 ans.
Méthode - Résoudre un problème de seuil
Identifier la grandeur étudiée et le rang.
Reconnaître l'évolution additive et déterminer la raison.
Écrire une expression de uₙ en fonction de n.
Traduire « au moins », « plus de », « au plus » par une inégalité.
Résoudre puis interpréter le résultat dans le contexte.
Exercice 3 - Épargne
Un capital de 20 000 € augmente de 200 € chaque année. On note Cₙ le capital après n années.
a. Donner C₀ et C₁.
b. Justifier que (Cₙ) est arithmétique et préciser sa raison.
c. Exprimer Cₙ en fonction de n.
d. Déterminer à partir de combien d'années le capital atteint ou dépasse 22 000 €.
Exercice 3
a. C₀=20 000 et C₁=20 200.
b. On ajoute 200 € chaque année : suite arithmétique de raison 200.
c. Cₙ=20 000+200n.
d. 20 000+200n≥22 000 ⇔ 200n≥2 000 ⇔ n≥10. Le capital atteint 22 000 € après 10 ans.
5. S'entraîner - Situations concrètes
Exercice 4 - Abonnement
Le prix annuel d'un abonnement est de 180 € la première année. Il augmente ensuite de 6 € chaque année.
a. Modéliser le prix par une suite arithmétique en précisant le premier terme et la raison.
b. Quel sera le prix la 8e année ?
c. À partir de quelle année le prix dépassera-t-il 240 € ?
Exercice 4
On choisit P₁=180 pour la première année et r=6.
Pₙ=180+6(n-1).
b. P₈=180+7×6=180+42=222 €.
c. 180+6(n-1)>240 ⇔ 6(n-1)>60 ⇔ n-1>10 ⇔ n>11. Le prix dépasse 240 € à partir de la 12e année.
Exercice 5 - Réservoir
Un réservoir contient 1 500 L. Chaque heure, on retire 75 L. On note Vₙ le volume restant après n heures.
a. Donner V₀, V₁ et V₂.
b. Exprimer Vₙ en fonction de n.
c. Déterminer après combien d'heures le volume devient inférieur à 600 L.
d. Le modèle a-t-il un sens pour tout entier n ? Expliquer.
Exercice 5
1500→ -75 →1425→ -75 →1350
a. V₀=1500, V₁=1425, V₂=1350.
b. Vₙ=1500-75n.
c. 1500-75n<600 ⇔ -75n<-900 ⇔ n>12. Le premier rang entier est 13 : le volume devient inférieur à 600 L après 13 h.
d. Non. À n=20, V₂₀=0. Pour n>20, la formule donnerait un volume négatif, impossible dans le contexte.
Exercice 6 - Marche
Une personne effectue 4 500 pas le premier jour d'un programme. Elle augmente son objectif de 300 pas chaque jour.
a. Déterminer l'objectif du 6e jour.
b. Exprimer l'objectif du n-ième jour.
c. Quel jour l'objectif atteint-il pour la première fois 9 000 pas ?
Exercice 6
On note u₁=4500 et r=300.
a. Du 1er au 6e jour, il y a 5 augmentations : u₆=4500+5×300=6000 pas.
b. uₙ=4500+300(n-1).
c. 4500+300(n-1)=9000 ⇔ 300(n-1)=4500 ⇔ n-1=15 ⇔ n=16. L'objectif atteint 9 000 pas le 16e jour.
6. Exercice bilan
Exercice 7 - Bilan nouveau
On considère la suite arithmétique (uₙ) de premier terme u₀ = 18 et de raison -2.
a. Donner u₁, u₂ et u₃.
b. Écrire une relation entre uₙ₊₁ et uₙ.
c. Exprimer uₙ en fonction de n.
d. Indiquer le sens de variation de la suite. Justifier.
e. Représenter les points de coordonnées (n ; uₙ) pour n allant de 0 à 7.
f. Déterminer à partir de quel rang uₙ < 5.
Exercice 7 - Bilan
u₀=18→ -2 →u₁=16→ -2 →u₂=14→ -2 →u₃=12
a. u₁=16, u₂=14, u₃=12.
b. uₙ₊₁=uₙ-2.
c. Comme on part du rang 0 : uₙ=18-2n.
d. La raison vaut -2<0, donc la suite est décroissante.
Les points sont alignés.
f. 18-2n<5 ⇔ -2n<-13 ⇔ n>6,5. Le premier entier qui convient est n=7. Ainsi, uₙ<5 à partir du rang 7.
Conseil : tente chaque question sur papier avant d'ouvrir une réponse. Les calculs sont conçus pour être réalisés sans calculatrice.