Combien de temps faudra-t-il attendre ?

Découvre comment la loi exponentielle modélise certains temps d'attente et pourquoi une probabilité correspond à une aire sous une courbe.

1. Explorer une loi à densité

Paramètre λ (par heure) Borne a (h) Borne b (h)

P(a ≤ X ≤ b)

P(X > b)

Temps d'attente moyen

La courbe représente la densité f(t) = λe^−λt pour t ≥ 0. L'aire totale sous la courbe vaut 1. La hauteur de la courbe n'est pas une probabilité.

2. Le temps d'attente sans mémoire

Déjà attendu s (h) Attente supplémentaire t (h)

Pour une variable exponentielle, P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Cela ne signifie pas que tous les phénomènes réels sont sans mémoire : c'est une propriété du modèle.

3. Exercices renouvelables

Réponse en %

Arrondis au dixième de pourcentage.

Correction détaillée

4. Justifier par le calcul

Pour 0 ≤ a ≤ b, on a :

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b λe^−λt dt = e^−λa − e^−λb.

En particulier, P(X ≤ b) = 1 − e^−λb et P(X > b) = e^−λb. L'espérance est E(X) = 1/λ.

Toutes les situations proposées sont des modèles fictifs ; la loi exponentielle n'est pas adaptée à tous les temps d'attente.