Logarithme : à partir de quand ?

Le logarithme permet de déterminer un seuil dans une évolution exponentielle. Expérimente, puis résous des problèmes à données renouvelables.

1. Explorer une évolution

Valeur initiale Évolution annuelle (%) Seuil visé

Coefficient multiplicateur

Instant réel du franchissement

Premier rang entier pertinent

Le modèle est u_n = u₀ × qⁿ. Pour un taux de r %, on a q = 1 + r/100. Le franchissement peut être une hausse ou une baisse : il faut vérifier le sens de l'inégalité.

2. Exercice guidé

Réponse : nombre entier d'années

Saisis le premier rang qui satisfait la condition.

Correction expliquée

3. À retenir

Pour q > 1, résoudre u₀qⁿ ≥ S revient à étudier n ≥ ln(S/u₀)/ln(q), lorsque S > u₀.

Pour 0 < q < 1, résoudre u₀qⁿ ≤ S avec 0 < S < u₀ donne aussi n ≥ ln(S/u₀)/ln(q) : on divise par un logarithme négatif, ce qui inverse le sens de l'inégalité.

Dans les deux cas, on cherche le plus petit entier naturel satisfaisant la condition. Vérifie les termes aux rangs précédent et suivant pour justifier le résultat.