1. Réduire une expression littérale
On peut additionner ou soustraire seulement des objets de même nature.
Exemple animé
À toi de jouer
Peut-on réduire \(3x^2+5x\) ?
Point de vigilance : \(x^2\) et \(x\) ne sont pas de même nature. On ordonne souvent le résultat par puissances décroissantes de \(x\).
2. Développer
Simple distributivité — regarde le facteur se distribuer
Double distributivité
Erreur classique
Un élève écrit : \(3(x+4)=3x+4\). Où est l'erreur ?
3. Factoriser
Le détecteur de facteur commun
Un facteur commun peut être une expression entière
4. Identités remarquables
Ces trois égalités sont à connaître et s’utilisent dans les deux sens : développer ou factoriser.
Reconnaître avant de calculer
\[(-3x+4)^2\]
\[(5u+3)(5u-3)\]
Mode factorisation
Quelle identité reconnais-tu dans \(16-9x^2\) ?
Autre forme à reconnaître : \(25x^2+20x+4=(5x+2)^2\).
5. Valeur absolue et distance
Avant toute formule, pense à une question très simple : « À quelle distance suis-je de 0 ? »
\[|a|=\begin{cases}a&\text{si }a\ge0,\\-a&\text{si }a<0.\end{cases}\]
Laboratoire 1 — Fais bouger le point M
Déplace le curseur. Observe ce qui se passe lorsque \(M\) traverse 0.
Ce que tu dois découvrir
Compare \(x=3\) et \(x=-3\). Ils sont opposés, mais quelle est leur distance à 0 ?
\[|3|=3\qquad\text{et}\qquad|-3|=3\]
Une distance ne peut jamais être négative. Deux nombres opposés sont à la même distance de 0.
Laboratoire 2 — Distance entre deux points
Choisis les abscisses de \(A\) et \(B\). La longueur \(AB\) ne dépend pas de leur ordre.
Exemples exacts du cours
Avant le laboratoire 3 — Qu’est-ce qu’un intervalle ?
Sur une droite graduée, on peut choisir tous les nombres entre deux nombres, par exemple entre −2 et 5. On prend aussi 0, 2,5 ou 4,99 : pas seulement les nombres entiers.
Lorsque les deux extrémités sont des nombres, on les appelle les bornes.
Notation : x ∈ [−2 ; 5] se lit « x appartient à l’intervalle [−2 ; 5] ». Cela signifie −2 ≤ x ≤ 5.
Le symbole ∈ signifie « appartient à ».
1 — Les bornes sont-elles comprises ?
Un crochet tourné vers l’intérieur indique que la borne est comprise ; un crochet tourné vers l’extérieur indique qu’elle est exclue.
Sur nos dessins : disque plein = borne comprise ; cercle vide = borne exclue.
2 — Et si l’on ne s’arrête pas ?
Pour choisir tous les nombres supérieurs ou égaux à 2, on part de 2 et on continue vers la droite, sans s’arrêter : 2 ; 2,1 ; 10 ; 1 000…
Il n’existe pas de dernier nombre : pour tout nombre choisi, on peut en trouver un plus grand.
De même, ]−∞ ; 3] désigne tous les nombres inférieurs ou égaux à 3 : l’intervalle se prolonge sans limite vers la gauche. −∞ se lit « moins l’infini ».
Le crochet du côté de −∞ ou +∞ est toujours ouvert : ces symboles ne sont pas des nombres appartenant à l’intervalle.
La flèche indique que l’on continue au-delà du dessin.
3 — Entraînement : exercices 137 à 139
Traduis chaque condition sous la forme x ∈ …, puis représente l’intervalle. Choisis les crochets et les bornes ; vérifie ensuite ta réponse.
Tu peux écrire 0,5 ou 1/2, 10^-1 ou 0,1, pi/2 ou π/2. Pour l’infini : −∞ et +∞ (ou -inf et +inf).
Laboratoire 3 — De la distance à l’intervalle
Dire \(|x-a|\le r\), c’est dire que le point d’abscisse \(x\) reste à une distance au plus égale à \(r\) du centre \(a\).
Défi — traduis une distance
\(|x-2|\le5\) signifie :
Le centre est 2 et le rayon 5 : on va 5 unités à gauche et 5 unités à droite.
6. Ouverture : notion d’équation
Ce n’est qu’une ouverture : les équations seront étudiées plus complètement dans un autre chapitre.
Bilan du chapitre
| Action | Transformation |
|---|---|
| Réduire | Regrouper les termes de même nature |
| Développer | Produit → somme ou différence |
| Factoriser | Somme ou différence → produit |
| Valeur absolue | Distance à 0 |
| \(|x-a|\) | Distance entre \(x\) et \(a\) |