Seconde générale

Chapitre 1 – Calcul numérique

Leçon interactive : mots-clés, exemples et corrections révélables au clic.

Vidéos d’Yvan Monka : Nombres premiers · Fractions · Puissances · Racines carrées

I. Notion de nombre premier

Définition. Un nombre premier est un entier positif ayant exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Exemples.

Déterminer si chacun des nombres suivants est premier. Justifier.

1;3;4

1 n’est pas premier : il possède un seul diviseur positif, 1.
3 est premier : ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 3.
4 n’est pas premier : 1, 2 et 4 sont des diviseurs positifs.

Théorème. Tout entier supérieur ou égal à 2 admet une unique décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple et méthodes.

Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.

1re méthode.
Transformer 360 en produit, puis redécomposer jusqu’à ne faire apparaître que des facteurs premiers.

2e méthode.
Chercher les diviseurs premiers dans l’ordre croissant.

Méthode 1

360 = 36 \times 10

360 = 6 \times 6 \times 2 \times 5

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Méthode 2

360 ÷ 2 = 180 → 90 → 45 → 15 → 5 → 1

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Réviser en vidéo avec Yvan Monka · 4 vidéos

Des rappels et des exercices expliqués par Yvan Monka (m@ths et tiques). Mets la vidéo en pause pour chercher avant de regarder la correction.

II. Calculs avec des fractions

1) Opérations sur les écritures fractionnaires

Clique sur les zones masquées pour faire apparaître les formules.

Propriétés (rappels). Soient

a, b, c, d

des nombres réels.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} =

\frac{a + b}{c}

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} =

\frac{a - b}{c}

, où

c \neq 0

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} =

\frac{a \times c}{b \times d}

, où

b \neq 0, d \neq 0

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times

\frac{d}{c}

, où

b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0

On dit que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Exemples.

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée.

\frac{3}{7} + \frac{5}{7}

;

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}

;

\frac{7}{12} - \frac{5}{18}

;

\frac{3}{5} \times \frac{25}{9}

;

\frac{4}{7} \div \frac{2}{21}

\frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \frac{8}{7}

\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

\frac{7}{12} - \frac{5}{18} = \frac{21}{36} - \frac{10}{36} = \frac{11}{36}

\frac{3}{5} \times \frac{25}{9} = \frac{3 \times 25}{5 \times 9} = \frac{5}{3}

\frac{4}{7} \div \frac{2}{21} = \frac{4}{7} \times \frac{21}{2} = 6

2) Fraction irréductible

Définition. Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun hormis 1.

Définition. Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples.

Déterminer si chacune des fractions suivantes est irréductible. Justifier.

\frac{6}{35}

;

\frac{12}{18}

$\frac{6}{35}$ est irréductible : le seul diviseur commun de 6 et 35 est 1.

$\frac{12}{18}$ n’est pas irréductible : 6 est un diviseur commun à 12 et 18.

Exercice intégré.

Simplifier $\frac{90}{84}$ par décomposition en facteurs premiers.

90 = 2 \times 3^{2} \times 5

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

\frac{90}{84} = \frac{2 \times 3^{2} \times 5}{2^{2} \times 3 \times 7} = \frac{15}{14}

15 et 14 sont premiers entre eux : la fraction obtenue est irréductible.

Réviser en vidéo avec Yvan Monka · 2 vidéos

Des rappels et des exercices expliqués par Yvan Monka (m@ths et tiques). Mets la vidéo en pause pour chercher avant de regarder la correction.

Effectuer des calculs de fractions

Regarder sur YouTube ↗

Simplifier une fraction par décomposition

Regarder sur YouTube ↗

III. Puissances d’un nombre relatif non nul

1) L’exposant est un entier positif

Définition. Soient

a \neq 0

n

un entier positif non nul. Alors :

a^{n} =

a \times a \times \dots \times a

(n facteurs)

$a^{n}$ se lit « a puissance n » ou « a exposant n ». Par convention, $a^{0} = 1$ .

Remarques.

a^{1} = a

;

a^{2}

se lit « a au carré » ;

a^{3}

se lit « a au cube » ;

a^{4}

se lit « a exposant 4 ».

Exemples.

Calculer les puissances suivantes en développant d’abord le produit.

2^{3}

;

10^{4}

2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8

10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10 000

Signe d’une puissance. Lorsque

a < 0

, le signe de

a^{n}

dépend de la parité de n :

a^{n} > 0

si n est pair et

a^{n} < 0

si n est impair.

Exemples.

Calculer en faisant particulièrement attention au signe.

{(- 3)}^{2}

;

{(- 3)}^{3}

{(- 3)}^{2} = 9; {(- 3)}^{3} = - 27

2) L’exposant est un entier négatif

Définition. Soit

a \neq 0

n

un entier positif non nul. Alors :

a^{- n} =

\frac{1}{a^{n}}

Exemples.

Écrire d’abord sous forme de fraction, puis calculer.

2^{- 3}

;

10^{- 4}

2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}

10^{- 4} = \frac{1}{10^{4}} = \frac{1}{10 000} = 0,0001

3) Calculs avec les puissances

Ordre de priorité des calculs. parenthèses → puissances → multiplications ou divisions → additions ou soustractions.

Exemples.

Calculer les expressions suivantes en respectant les priorités opératoires.

2 \times 3^{4}

;

{(- 2)}^{3}

;

{(4 \times 5)}^{2}

;

- 2^{3}

;

5 (2 + 6) - 6^{2}

2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162

{(- 2)}^{3} = - 8

{(4 \times 5)}^{2} = 20^{2} = 400

- 2^{3} = - 8

5 (2 + 6) - 6^{2} = 40 - 36 = 4

Propriétés. Soient

a, b

deux nombres réels et

n, m

deux entiers relatifs.

a^{n} \times a^{m} =

a^{n + m}

a^{n} \times b^{n} =

{(a \times b)}^{n}

\frac{a^{n}}{a^{m}} =

a^{n - m}

(

a \neq 0

)

{(a^{n})}^{m} =

a^{n \times m}

Réviser en vidéo avec Yvan Monka · 2 vidéos

Des rappels et des exercices expliqués par Yvan Monka (m@ths et tiques). Mets la vidéo en pause pour chercher avant de regarder la correction.

Appliquer les formules sur les puissances

Regarder sur YouTube ↗

Effectuer des calculs de puissances

Regarder sur YouTube ↗

IV. Valeur approchée, écriture scientifique et ordre de grandeur

À retenir. On distingue une valeur exacte d’une valeur approchée. Par exemple,

\sqrt{3}

est une valeur exacte tandis que 1,732 est une valeur approchée de

\sqrt{3}

Exercice intégré.

La calculatrice donne $\sqrt{7} = 2,645751311$ .

Compléter le tableau. Il peut y avoir plusieurs bonnes réponses par ligne.

Écriture proposée	Exacte	Approchée par défaut	Approchée par excès	Troncature
$\sqrt{7}$	?	?	?	?
2,6	?	?	?	?
2,64	?	?	?	?
2,645	?	?	?	?
2,6457	?	?	?	?
2,65	?	?	?	?
2,646	?	?	?	?

Écriture proposée	Exacte	Par défaut	Par excès	Troncature
$\sqrt{7}$	✓
2,6		✓		✓
2,64		✓		✓
2,645		✓		✓
2,6457		✓		✓
2,65			✓
2,646			✓

Définition. L’écriture scientifique d’un nombre positif est de la forme

a \times 10^{n}

où

1 \leq a < 10

n

est un entier.

Exemples.

Compléter ou convertir les écritures suivantes.

350 000 = ?;0,0047 = ?;

6,2 \times 10^{4} = ?

350 000 = 3,5 \times 10^{5}

0,0047 = 4,7 \times 10^{- 3}

6,2 \times 10^{4} = 62 000

V. Racine carrée

1) Définition

Définition. Soit

a

un nombre positif. On appelle racine carrée de

a

et on note

\sqrt{a}

le nombre positif dont le carré est a.

Propriétés. Si

a \geq 0

alors :

{(\sqrt{a})}^{2} = a

;

\sqrt{a^{2}} = a

;

\sqrt{a} \geq 0

Exemples.

Donner la valeur exacte lorsque c’est possible. Sinon, distinguer valeur exacte et valeur approchée.

\sqrt{36}

;

\sqrt{3}

;

{(\sqrt{8})}^{2}

;

\sqrt{{(- 7)}^{2}}

;

\sqrt{1,96}

$\sqrt{36} = 6$ car $6^{2} = 36$ et 6 ≥ 0 : 6 est une valeur exacte.
$\sqrt{3}$ est une valeur exacte ; $\sqrt{3} \approx 1,732$ est une valeur approchée.
${(\sqrt{8})}^{2} = 8$
$\sqrt{{(- 7)}^{2}} = \sqrt{49} = 7$
Comme ${1,4}^{2} = 1,96$ , on a $\sqrt{1,96} = 1,4$ .

Remarque. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle.

\sqrt{a}

n’a pas de sens dans ℝ si

a < 0

. Cas particuliers :

\sqrt{0} = 0

\sqrt{1} = 1

2) Calculs avec les racines carrées

Propriété. Pour tous nombres

a, b

positifs :

\sqrt{a} \times \sqrt{b} =

\sqrt{a \times b}

Propriété. Pour tous nombres

a, b

positifs avec

b \neq 0

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =

\sqrt{\frac{a}{b}}

Convention. On essaiera d’écrire les racines carrées sous forme simplifiée : nombre le plus petit possible sous le signe √ et aucune racine carrée au dénominateur.

Exemples.

Simplifier au maximum. Ne pas laisser de racine carrée au dénominateur.

\sqrt{50} \times \sqrt{2}

;

\sqrt{32}

;

\sqrt{\frac{51}{27}}

;

\sqrt{\frac{9}{7}}

\sqrt{50} \times \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10

\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}

\sqrt{\frac{51}{27}} = \sqrt{\frac{3 \times 17}{3 \times 9}} = \sqrt{\frac{17}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{3}

\sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}

Réviser en vidéo avec Yvan Monka · 4 vidéos

Des rappels et des exercices expliqués par Yvan Monka (m@ths et tiques). Mets la vidéo en pause pour chercher avant de regarder la correction.

Appliquer les formules sur les racines carrées

Regarder sur YouTube ↗

Extraire un carré parfait d’une racine carrée

Regarder sur YouTube ↗

Réduire les racines carrées — 1

Regarder sur YouTube ↗

Réduire les racines carrées — 2

Regarder sur YouTube ↗

Clique directement sur les zones sombres pour révéler les mots ou formules importants.

I. Notion de nombre premier

Reconnaître un nombre premier

Déterminer tous les diviseurs d’un nombre

Décomposer en produit de facteurs premiers — rappel de quatrième

Décomposer en produit de facteurs premiers — seconde

II. Calculs avec des fractions

1) Opérations sur les écritures fractionnaires

2) Fraction irréductible

Effectuer des calculs de fractions

Simplifier une fraction par décomposition

III. Puissances d’un nombre relatif non nul

1) L’exposant est un entier positif

2) L’exposant est un entier négatif

3) Calculs avec les puissances

Appliquer les formules sur les puissances

Effectuer des calculs de puissances

IV. Valeur approchée, écriture scientifique et ordre de grandeur

V. Racine carrée

1) Définition

2) Calculs avec les racines carrées

Appliquer les formules sur les racines carrées

Extraire un carré parfait d’une racine carrée

Réduire les racines carrées — 1

Réduire les racines carrées — 2